====== Főnixszámok ======

**Melyik az az ötjegyű természetes szám, amely "elejére", illetve "végére" az 1 számjegyet írva két olyan hatjegyű számot kapunk, amelyek közül az egyik háromszorosa a másiknak?**

//Megoldás://

Jelöljük a keresett ötjegyű számot //x//-szel.

A két konstruált hatjegyű szám közül nyilván az a kisebb, amelyiknek az elejére írtuk az 1-et. Ez a szám //x//+100 000.

Ha a szám végére írjuk az 1-et, akkor lényegében a kiindulási szám tízszereséhez adunk 1-et: 10//x//+1.

Ebből egyenletként adódik:
  3(x+100 000) = 10x+1
  3x+300 000=10x+1
  299 999=7x
  x=42857

**Másképp:**

Írjuk fel az írásbeli szorzást:
  1 _ _ _ _ _ * 3
  _ _ _ _ _ 1

Majd próbáljuk kitalálni a hiányzó számjegyeket! Melyik az a számjegy, amit 3-mal szorozva 1-re végződő számot kapunk? Csak a 7 ilyen. Írjuk be:
  1 _ _ _ _ 7 * 3
  _ _ _ _ 7 1

Majd keressük, melyik az a számjegy, melynek háromszorosához kettőt adva 7-et kapunk. Tehát a háromszorosa 5-re végződik, ami az 5. Így folytatva megkapjuk a keresett számot.

----

**Hány számjegyből áll az a legkisebb természetes szám, amelynek utolsó számjegye 8, és e szám nyolcszorosát úgy is megkapjuk, hogy a szám végéről a 8-as számjegyet töröljük, és azt a szám elejére írjuk?**

----

**Melyik az a legkisebb természetes szám, amelynek a négyszeresét úgy is megkaphatjuk, hogy az utolsó jegyét a legelső helyre írjuk, a többi jegyet (sorrendben is) változatlanul hagyva!**

__Megoldás:__

102 564

----

**Melyik az a legkisebb természetes szám, amelynek utolsó - egynél nagyobb - számjegye n, és e természetes szám n-szeresét úgy is megkaphatjuk, hogy az utolsó számjegyét a szám végéről átírjuk elejére, a többi jegyet (sorrendben is) változatlanul hagyva!**

----

**Melyik az a legkisebb természetes szám, amelynek utolsó számjegye n-nél nem nagyobb, és e természetes szám n-szeresét úgy is megkaphatjuk, hogy az utolsó számjegyét a szám végéről átírjuk elejére!**

----

**Hány elsőrendű főnix-szám van a szűkebb értelmezés szerint?**

----

**Melyik az 1997 szám legkisebb pozitív többszöröse, amely 1998-ra végződik?** (Hódmezővásárhely, 1998)

----

**Bizonyítsa be, hogy van olyan szám, amely tízes számrendszerben 987654321-re végződik, és osztható 2003-mal!**
(Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny - döntő, 2003)

----

**Bizonyítsa be, hogy van olyan szám, amely tízes számrendszerben 123456789-re végződik, és osztható 2003-mal!**


====== Hivatkozások ======

[[matematika:algebra:főnixszám]]
[[oktatas:matematika:feladatok:szamelmelet:szamelmelet]]