Tartalomjegyzék

Differenciálszámítás
== Vita ==

Differenciálszámítás

Az érintő definiálása

Legyen S adott intervallum. Az f: S → R függvény grafikonjának két pontját jelölje a P(c, f ©) és Q(x, f (x)), ahol c in S . A PQ szelő meredekségét a PQ és az Ox tengely pozitív iránya által bezárt szög tangense adja, s mivel PR párhuzamos az x-tengellyel, ezért ez a szög a QPR szöggel egyenlő, tehát tgQPR={QR}/{PR}={f(x)-f(c)}/{x-c} Ha ez a differenciahányados egy m határértékhez tart, miközben x in S tart c-hez, akkor a szelő a P pontra illeszkedő m meredekségő egyeneshez tart, melyet az y = f(x) egyenleű görbe c abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének nevezzük. A geometriai szemlélettől függetleníthetjük azt az eljárást, amely szerint az f és c ismeretében meghatározzuk az m számértéket. Az f: S → R függvénynek differenciálhányadosa a c in S helyen m (akkor és csak akkor), ha {lim}under{x right c} {f(x)-f(c)}/{x-c}=m Ekkor röviden azt mondjuk, hogy f differenciálható a c pontban.

Az alábbi linken megtekinthető a folyamat:

http://www.geogebra.org/en/examples/function_slope/function_slope1.html

Differencia és differenciahányados

Az f(x) függvény x_0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az ${f(x)-f(x_0)}/{x-x_0}$ x <> x_0 hányadost értjük. Ha a differenciálhányadosnak az x_0 pontban van határértéke, akkor ezt a határértéket az f(x) függvény x_0 pont beli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük.

Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x_0 pontban differenciálható, vagy deriválható. Megjegyzés: az f(x) függvény ]a; b[ intervallumon deriválható, ha az intervallum minden pontjában teljesül a deriválhatóság.

Szemléletes jelentés: -Differenciahányados –Matematikában: a grafikon x_0 és x pontját összekötő szelő iránytangense –Fizikában: az s(t) út-idő függvény esetén az átlagsebesség -Differenciálhányados: –Matematikában: a grafikon x_0 pontjában húzott érintő iránytangense –Fizikában: az s(t) út-idő függvény esetén a pillanatnyi sebesség

A függvény deriváltja

Tétel: Ha az f(x) függvény x_0 pontban deriválható, akkor ott folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. A folytonosság azomban nem elégséges feltétel ahhoz, h a függvény differenciálható legyen.

Pl: f(x)= |x|; x in bbR; x_0=0 pontban folytonos.

m(x)={|x|-0}/{x-0}={|x|}/x=1, ha x>0; -1, ha x<0

{lim}under{x right 0} m(x) = {lim}under{x right 0} {|x|}/x= nem létezik, tehát az f(x) nem differenciálható.

Definíció: Azt a függvényt, amely megadja, hogy a változó egyes értékeihez mely derivált tartozik, az f(x) függvény deriváltfüddvényének, röviden deriváltjának nevezzük. Jelölés: f prime(x) vagy {df}/{dx} pl: f(x)=x^2; f' (x)=2x vagy (x^2)'=2x

Deriválási szabályok

Műveleti szabályok

1) [f(x)+/- g(x)] prime = f prime (x) +/- g prime (x)

2) [c cdot f(x)] prime = c cdot f prime (x); c in bbR

3) [f(x) cdot g(x)] prime = f prime (x) cdot g(x) + g prime (x) cdot f(x)

4) $[{f(x)}/{g(x)}] prime = {f prime (x) cdot g(x) - g prime (x) cdot f(x)}/{[g(x)]^2}$

5) [f[g(x)]] prime = f prime [g(x_0)] cdot g prime(x_0)

A szorzatfüggvény deriváltja

Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenhol differenciálhatók. Határozzuk meg a h(x)=f(x)*g(x) függvény deriváltját! $m(x)={h(x)-h(x_0)}/{x-x_0}={f(x) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x_0)}/{x-x_0}=$ A számlálóhoz és a nevezőhöz adjuk hozzá és vonjuk ki az f(x_0) cdot g(x) szorzatot! $={f(x) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x_0)+f(x_0) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x)}/{x-x_0}=$ ${[f(x) cdot g(x)-f(x_0) cdot g(x)]+[f(x_0) cdot g(x)+f(x_0) cdot g(x_0)]}/{x-x_0}=$ ${g(x) cdot [f(x)-f(_0)]+f(x_0) cdot[g(x)-g(x_0)]}/{x-x_0}=$ ${f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} cdot g(x) + {g(x)-g(x_0)}/{x-x_0} cdot f(x_0)$ $h prime (x_0)= {lim}under{x right x_0} m(x)= {lim}under{x right x_0}[{f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} cdot g(x) + {g(x)-g(x_0)}/{x-x_0} cdot f(x_0)]=$

=f prime (x_0) cdot g(x_0)+f(x_0) cdot g prime (x_0)

[f(x) cdot g(x)] prime = f prime (x) cdot g(x) + g prime (x) cdot f(x)

Differenciálható függvény inverze

Tétel: – Az inverz függvény deriváltja – Ha az invertálható, valós-valós f függvény differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, f^-1 differenciálható f(u)-ban és f'(u) nem nulla, akkor $(f^{-1})prime(f(u))=1/{f prime(u)}$

Bizonyítás: http://hu.wikipedia.org/wiki/Inverz_f%C3%BCggv%C3%A9ny_(anal%C3%ADzis)

Ha a tétel feltételei az f: H –> K bijektív valós-valós függvény értelmezési tartományának minden pontjára teljesülnek, akkor ezt még a következő egyenlőségekkel is kifejezhetjük: $(f^{-1})prime(y)=1/{f prime(f^{-1}(y))}$

Fontos deriváltak

1) Konstansfüggvény deriváltja: f(x)=c; c in bbR f prime (x)=0, vagy (c) prime =0

2) Az elsőfokú függvény deriváltja: f(x)=x f prime (x)=1, vagy (x) prime =1

3) A hatványfüggvény deriváltja: f(x) = x^n; n in bbZ $f prime (x) = n cdot x^{n-1}, vagy (x^n) prime = n cdot x^{n-1}$

4) Az f(x)= 1/x; x in bbR backslash lbrace 0 rbrace függvény deriváltja: $f prime (x)= -1/{x^2}, vagy (1/x) prime = -1/{x^2}$

5) $Az f(x) = sqrt{x}; x in bbR backslash bbR^- függvény deriváltja:$ $f(x)= sqrt{x}= x^{1/2}$ f prime (x)= 1/{2 cdot sqrt{x}}, vagy (sqrt{x}) prime = 1/{2 cdot sqrt{x}}

6) $Az f(x) = root{n}{x^k}; x in bbR backslash bbR^- függvény deriváltja:$ $f(x) = root{n}{x^k}$ $f prime (x)= {k/n} cdot x^{k/n-1}, vagy (root{n}{x^k}) prime = {k/n} cdot x^{k/n-1}$

7) A szinuszfüggfény deriváltja: f(x)= sin x f prime (x) = cos x, vagy (sin x) prime = cos x

8) A koszinuszfüggvény deriváltja: f(x)= cos x f prime (x) = -sin x, vagy (cos x) prime = -sin x

9) A tangensfüggfény deriváltja: f(x)= tg x $f prime (x)= 1/{cos^2 cdot x}$

10) A kotangens függvény deriváltja: f(x)= ctg x $f prime (x)= -1/{sin^2 cdot x}$

11) Az a^x függvény deriváltja f(x)= a^x f prime (x)= a^x cdot ln a, vagy (a^x) prime =a^x cdot ln a

12) A log_a x függvény deriváltja f(x)= log_a x f prime (x)= 1/{x cdot ln a}

13) A lg x függvény deriváltja f(x)= lg x f prime (x)= 1/{xln 10}

Az elsőfokú függvény deriváltja

f(x)=x Legyen x_0 tetszőleges pont! $m(x)={f(x)-f(x_0)}/{x-x_0} = {x-x_0}/{x-x_0}=1$ $f prime (x_0)={lim}under{x right x_0}m(x)=1$ f(x)=x; f prime (x)=1

Az 1/x függvény deriváltja

Legyen x_0 tetszőlege pont! $m(x)={f(x)-f(x_0)}/{x-x_0}={1/x-1/{x_0}}/{x-x_0}=$

$={x_0-x}/{xx_o(x-x_0)}=-{(x-x_0)}/{xx_0(x-x_0)}=-1/{xx_0}$

$f prime x_0 ={lim}under{x right x_0}m(x)=-1/{xx_0}=-1/{(x_0)^2}$

$f(x)=1/x; f prime (x)= -1/{x^2}$

== Vita ==

Így első szuszra beírva egész jó, de azért néhány megjegyzés:

Használd a címfokozatokat a tagolásra! Ezekre lehet hivatkozni más oldalakról, másrészt az oldalhoz tartalomjegyzék is készül, ha elég sok alcím van benne.
Az elején valami bevezető szöveg kellene az egy pontra illeszkedő szelőkről… Ha még GeoGebrával készítessz ábrát/applet-et is, akkor meg csúcs szuper lesz (lehet, hogy találsz készen is a geogebra.org-on)
A képletekben van alsó index írásra lehetőség így: $x_0, x_{1234}$
Ha a képletben nem hagysz szóközt, akkor folyó szövegbe is ágyazhatod:
Szorzásjelként a cdot használható
Előbre raknám a műveleti szabályokat és ez alá tartozik a Differenciálható függvény inverze pont is. A legszebb az lenne, ha lenne a fejezet elején egy egész rövid összefoglalása a műveleti szabályoknak, majd mindegyik külön szépen rendesen ki lenne mondva, esetleg bizonyítva (nem kell ezt neked mind megcsinálni, de a szerkezet és esetleg egy példa jó lenne rá, hogy ha más belenyúl, akkor már jó helyre írja…

De szuper, hogy ennyit dolgoztál már vele! [bb]