A téma tárgyalásának lehetséges felépítései:

• Középiskolai felépítés (természetes számokból kindulva a valós számokig, esetleg komplex számokig bővítjük a számfogalmat)
• Történeti áttekintés - a számfogalom fejlődése az őskortól napjainkig.
• Axiomtikus felépítés - A valós számok axiómarendszeréből kiindulva, a többi számhalmazt e halmaz nevezetes részhalmazaiként definiáljuk.

Jele:
Pozitív egész számok és a 0. Természetes számok körében végezhetünk összeadást és szorzást úgy, hogy az eredmény is mindenképpen természetes szám legyen. A kivonás és osztás eredménye azonban nem feltétlenül lesz természetes szám.

Az azon részhalmazát melyre

1. 
2. ha , akkor
3. ha olyan, hogy és -ből következik, hogy , akkor

teljesül, a természetes számok halmazának nevezzük.

A fenti axiómákat a természetes számok Peano-féle axiómáinak nevezzük. A 3., úgynevezett indukciós axióma biztosítja a teljes_indukcios bizonyítások létjogosultságát.

A természetes számok halmaza zárt az összeadás és szorzás műveletére. Az természetes számok halamazán értelmezett összeadás és szorzás asszociativ és kommutativ művelet, mindkét műveletnek van egységeleme (neutrális elem: 0 illetve 1).

A természetes számok halmaza az összeadás és a szorzás művelettel egyaránt kommutatív, egységelemes félcsoportot alkot. (Nem csoport, mert nincs az elemnek additív, illetve multiplikatív inverze.)

• Számelmélet
• Teljes indukció

Jele:
Természetes számok, és a negatív egész számok. Egész számok körében elvégezhetünk összeadást, kivonást és szorzást úgy, hogy az eredmény is mindenképpen egész szám legyen. Az osztás eredménye azonban nem feltétlenül lesz eleme a halmaznak (pl.: , de ).

Jele:
Olyan számokat tartalmaz, amik felírhatók két egész szám hányadosaként (osztó természetesen nem lehet 0): , . Ezek a számok felírhatók tizedes tört alakban is (ide tartozik a végtelen szakaszos tizedes tört is, mint pl.: ).

Az algebrai számok olyan valós vagy komplex számok, amelyek gyökei valamely racionális együtthatós, nem csupa nulla polinomnak.

Megmutatható, hogy ezzel ekvivalens, ha racionális helyett egészek együtthatós polinomok gyökeit vesszük, illetve az is, hogy az algebrai együthatós polinomok gyökei is mind algebrai számok.

Algebrai szám például a , vagy a , de az i képzetes egység is. Általában a racionális számokból az alapműveletek (+, –, *, /) és n-edik gyökvonás (n pozitív egész) véges sokszori alkalmazásával kapható számok algebraiak. Másképp fogalmazva az algebrai számok halmaza zárt az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletekre, és a racionális kitevős hatványozásra is (így a gyökvonásra is).

Az algebrai számok halamza, mint algebrai struktúra test.

Az racionális számok halmaza részteste az algebrai számok halmazának, de végtelen sok racionális számtastnél bővebb részteste van az algebrai számoknak. Ezekkel a résztestekkel Galois-elmélet foglalkozik, melynek egyik eredménye, hogy vannak olyan algebrai számok, melyek nem állnak elő racionális számokból a fent említett műveletek véges sok alkalmazásával, és ezen számok foka legalább 5. Például az egyenlet egyetlen valós gyöke ilyen.

Ez azt jelenti, hogy nem adható meg a másodfokú egyenletek megoldóképletéhez hasonló formula az 5-öd és magasabb fokú egyenletek megoldásához.

A nem algebrai komplex számokat transzcendens számoknak nevezzük. Ilyen például a és az e.

A racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre. Más műveletek, például a négyzetgyökvonás, illetve a racionális számsorozatok határértékei kivezetnek ebből a halmazból.

Állítás: nem racionális szám, azaz irracionális.

Bizonyítás: Az állítást indirekt módon bizonyítjuk.

Tegyük fel, hogy racionális szám, azaz felírható két egész szám hányadosaként. Legyen ekkor , ahol tovább nem egyszerüsíthető (azaz a és b relativ_primek).

Az egyenlőséget rendezve:
majd négyzetre emelve:

2b² páros, így a² is páros, ekkor viszont a is páros, azaz alakú ().

Ezt a helyére helyettesítve:

2k² páros, így b² is páros, ekkor viszont b is páros, azaz alakú ()

Így ezt kapjuk: , tehát a tört egyszerüsíthető 2-vel. Nem teljesül az indirekt feltétel, tehát kezdeti feltevésünk helytelen volt, azaz nem racionális szám.

A nem racionális valós számokat irracionális számoknak nevezük.

Jele: ^*

Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört.

Az irracionális számok halmaza két diszjunkt részhalmazara bontható:

• Algebrai irracionális számok: olyan irracionális szám, amely gyöke egy egész együtthatójú, nem csupa nulla polinomnak. (Pl: ) Ezek az euklideszi szerkesztési lépésekkel szerkeszthetőek.
• Transzcendens számok: Nem algebrai valós számok.

A valós számok fogalma egy hosszú fejlődés eredménye. Először a természetes számok fogalma alakult ki a megszámlálás révén. Ezt a számhalmazt néhány egyszerű művelettel is felruháztuk (összeadás, szorzás). A számfogalom további bővülése a különböző kultúrákban más-más módon, nagy időbeli eltolódássokkal történt, bevezettük a negatív egész és a racionális számok fogalmát.

Ezek a számok szemléltethetők is, megfeleltethetők egy egyenes pontjainak. Az egyenesen jelöljünk ki egy O és egy E pontot, ezekhez rendeljük a 0 és 1 számokat, majd az OE szakasz többszöri felmérésével megkapott pontokhoz rendeljük a többi természetes számot, az ellentétes félegyenesen hasonlóan megjelölhetjük a negatív egész számokhoz tartozó pontokat. Könnyen szerkeszthetjük a racionális számoknak megfelelő pontokat is és szemléletes értelmet adhatunk az alapműveleteknek is.

Megmutatható, hogy az így megjelölt pontok nem fedik le az egyenest, például az OE oldalú négyzet átlóját felmérve olyan ponthoz jutunk, mely nincs hozzárendelve semelyik racionális számhoz sem. Az egyenes kimaradó pontjaihoz újabb számokat rendelünk - ezeket irracionális számoknak nevezzük.

A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését, azaz az egyenes pontjaihoz rendelt számok halmazát nevezzük valós számhalmaznak. Jele: ^*

Az iskolában megtanultuk a számolás szabályait, megismertük a számok „tulajdonságait”. Az alábbi axiómarendszer nem más, mint ezen tulajdonságok közül a legfontosabbak rögzítése. A testaxiómák az összeadás és a szorzás szabályait, a rendezési axiómák a reláció tulajdonságait rögzítik, a teljesség pedig valami olyasmit fejez ki, hogy a számegyenes „nem lyukas”.

Az axiómák jelentőssége azonban messze túlnő a szabályok egy összességének rögzítésén. Az alábbi axiómákkal ugyanis levezethető minden más szabály és tulajdonság. Sőt valójában az axiómákat teljesítő objektum az, amit valós számoknak nevezünk.

A valós számok halmazának fő tulajdonságait leíró axiómák két nagy csoportot és egy különálló axiómát alkotnak:

• Az első csoport (test axiómák) a halmazon értelmezett szorzás és összeadás műveletek tulajdonságait írja le. Ezek lényegét röviden úgy foglalhatjuk össze, hogy a valós számhalmaz kommutatív test.

• A másik csoport (rendezési axiómák) a valós számok halmazán értelmezett rendezést írja le. Ezeknek értelméban a valós számok halmaza a < relációval rendezett halmazt alkot. A rendezést további speciális axiómákkal írjuk körül:
  1. 
  2. (az összeadás és szorzás monotonítása)

A két axióma csoport feltételeinek megfelelő halmazt rendezett testnek nevezzük.

• Teljességi axióma: Az rendezett test (mint rendezett halmaz) teljes, azaz bármely nemüres, felülről korlátos részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja (szuprémuma).

Összefoglalva: Az halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljes rendezett test.

Megjegyzés: Megmutatható, hogy létezik ilyen halmaz, és bizonyos értelemben egyértelmű.

2. Megjegyzés: Más axiómatikus felépítésekben a Teljességi axióma helyén az alábbi két axiómát találjuk:

• Arkhimédész-féle axióma: bármely valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.
• Cantor-féle axióma: ha zárt intervallumoknak tetszőleges fogyó sorozata, akkor van olyan , amely minden n-re hozzátartozik intervallumhoz.

Megmutatható, hogy a két megközelítés egyenértékű, azaz a Teljességi axiómából tételként levezethető a fenti két állítás (Cantor-féle metszettétel, Archimedesi tulajdonság), míg a Arkhimédész-féle és Cantor-féle axiómákból levezethető a valós számok teljességi tulajdonsága.

• http://www.jgytf.u-szeged.hu/~szalay/analizis/htm/I03.php
• http://www.math.klte.hu/~lajko/jegyzet/kalk1.pdf

Jele:

A valós számok halmaza a négy alapműveletre, ezek kombinációira és inverzeire zárt - test.

Ugyanakkor bizonyos valós számok halmazán megfogalmazott feladatok nem oldhatók meg a valós számhalmazon. A legalább másodfokú valós együtthatós polinomok körében sok olyat találunk, melyeknek nincs valós gyöke. Már a másodfokú egyenletek vizsgálatakor láttuk, hogy azon másodfokú polinomoknak, melyek diszkriminansa negatív, nincs valós gyöke.

Ilyen például az x²+1. Ennek gyöke olyan szám lenne, melynek négyzete -1. Ilyen valós szám nincs, de bővítsük a számhalmazunkat ezzel az új elemmel, melyet i-vel jelölünk és imaginárius (képzetes) egységnek nevezünk. (Megjegyezzük, hogy a polinomnak gyöke a (-i) szám is!)

A valós számok halmazán megszokott műveleteket az új számra is alkalmazhatjuk, így egy sereg számmal bővül a számhalmazunk, melyek mind a+bi alakban írhatók (lásd: műveletek komplex számokkal). A b=0 esetben kapjuk vissza a valós számokat.

Megmutatható, hogy a valós számtestben megszokott műveleti tulajdonságok megmaradnak az új számhalmazban is. Úgy fogalmazhatunk, hogy az új halmaz a valós számok egy testbővítése, amit komplex számhalmaznak nevezünk és -vel jelölünk.

• Additív neutralis_elem: z = 0+0i = 0
• Multiplikatív neutrális elem: z = 1+0i = 1
• Additív inverz: -z = -(a+bi) = (-a)+(-b)i
• Multiplikatív inverz: 1/z = (a-bi)/(a²+b²) (ha z nem nulla)

legyen z₁=a₁+b₁i és z₂=a₂+b₂i komplex számok.

• Összeadás: z₁+z₂ = (a₁+b₁i) + (a₂+b₂i) = (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i
• Kivonás: z₁-z₂ = z₁+(-z₂) = (a₁+b₁i) - (a₂+b₂i) = (a₁-a₂) + (b₁-b₂)i
• Szorzás: z₁z₂ = (a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = a₁a₂ + (a₁b₂+a₂b₁)i+b₁b₂i² = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂+a₂b₁)i
• Osztás:

A komplex számok halmaza megfeleltethető a sík (a,b) koordinátájú vektorainak (a komplex számhalmaz a valós számtest feletti két dimenziós vektorter) és így a sík (a,b) koordinátájú pontjainak is (komplex számsík). A hozzárendelésben az 1 a j=(1,0) vektornak, i pedig az i=(0,1) vektornak felel meg. Ebben a modellben a komplex számok összeadása, illetve valós számmal való szorzása és a vektorok összeadása, illetve a valós számmal való szorzása analóg műveletek.

Ha a vektorok irányszögét -vel, a vektor hosszát r-rel jelöljük, akkor és .

A komplex számok tehát alakban is írhatók. Ez az alak jól használható komlex számok szorzásakor és hatványozásakor, ugyanis legyen és , ekkor (felhasználva az addicios_tetelek-et:

Ez azt jelenti, hogy a szorzatnak megfelelő vektor irányszöge a két tényező irányszögének összege, míg hossza a tényezők hosszainak szorzata lett.

Ezek után a komplex számok hatványozása is egyszerűsödik: