Statisztika

A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati tevékenység és tudomány.

Célja egy már rendelkezésre álló, valóságra vonatkozó adathalmaz összefoglalása, elemzése, egyszóval az információtömörítés.

Nagy mennyiségű adat az ember számára áttekinthetetlen, értelmezhetetlen, „túl sok”. Az értelmezéshez egyszerűsítenünk kell a feladatot, amit néhány jellemző összesítő adat segítségével érünk el. Ezeket nevezzük statisztikai mutatóknak. A statisztikai mutatók által nyújtott információ természetesen egyáltalán nem egyenértékű a teljes adatsor által nyújtott információval, de kezelhető és sok esetben elegendő lehet bizonyos kérdések vizsgálatakor. Ugyanakkor tudnunk kell, hogy teljesen eltérő adatsorok is adhatnak azonos statisztikai mutatókat.

Célja a megfelelő – vagyis a sokaság egészének paramétereit legjobban tükröző, reprezentáló – minta kiválasztása, a sokasági paramétereknek a minta paramétereivel történő becslése, illetve a sokasági paraméterekre vonatkozó feltételezések, hipotézisek elfogadása vagy elvetése. Foglalkozik továbbá a valóság összefüggéseinek egyszerűsített megragadására törekvő modellekkel is, mint az idősor- és regressziós modellek.

Átlag

vagyis az adott értékek számtani közepe. Vegyük az n db elemet, és jelöljük őket a képletben a₁-től a_n-ig. Ezeknek az elemeknek a számtani közepe:

Említést kell tennünk még a súlyozott átlag fogalmáról. Ezt olyan esetben használjuk, ha az adatokhoz bizonyos értékek társulnak, tehát például egyes adatok előfordulása gyakoribb, mint másoké. Tehát ha adott egy x₁, … , x_n adatsor a₁, … , a_n értékekkel, akkor az átlag:

Módusz

Az adatsorban leggyakrabban előforduló elem.

Medián

Az adatsor elemeinek növekvő sorrendbe való rendezésekor a középső elem. (Páros számú elem esetén a két középső elem számtani közepe.) Jele: M

Mértani közép

Harmonikus közép

Négyzetes közép

• Középérték mindig a legkisebb és legnagyobb elem közé esik.

• Az adatok sorrendjétől független.

• Ha az adatsor minden elemét egy A értékkel növeljük, akkor a középérték is A-val növekszik. (Mértani középre nem lesz igaz.)

• Ha az adatsor minden elemét B-vel megszorozzuk, akkor a középérték is B-szeresére változik.

Az x₁, …, x_n számsokaság A számtól való átlagos abszolút eltérése:

A = x esetén a számsokaság átlagos abszolút eltéréséről beszélünk.

A = M esetén a számsokaság átlagos minimális eltérése.

Az x₁, …, x_n számsokaság A számtól való átlagos négyzetes eltérése:

A = x esetén a számsokaság szórásnégyzetéről beszélünk. Jelölés:D²

Szórásnégyzet négyzetgyöke a számsokaság szórása. Jelölés:D

Terjedelem: a legnagyobb és legkisebb elem különbsége.

• Adatok sorrendjétől nem függ.

• Akkor és csak akkor nulla, ha az összes elem egyenlő, különben pozitív.

• Ha a számsokaság minden tagjához hozzáadjuk ugyanazt az A értéket, akkor a szóródási mérőszám nem változik.

• Ha a számsokaság minden tagját megszorozzuk ugyanazzal a B értékkel, akkor a szóródási mérőszám |B|-szeresére változik.

x₁, …, x_n adatok, emelett adott egy A > x_átlag. Maximum hány A-nál nagyobb érték lehet a számok között? (k db ilyen érték van)

Adott egy B>1 szám. Vegyük B-nek és az adott adathalmaz szórásának szorzatát. Az átlagnál ennél jobban eltérő számok legfeljebb lehetnek.

Kördiagram

Oszlopdiagram

Létezik egyszerű oszlopdiagram és halmozott oszlopdiagram. Itt az előbbire láthatunk példát.

Sávdiagram

Létezik egyszerű sávdiagram és halmozott sávdiagram. Ennél az utóbbira láthatunk példát.

Grafikon