Tartalomjegyzék

Hatványozás, a hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok

Hatványozás, a hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok

A pozitív egész kitevős hatvány

Definíció: Legyen a egy valós szám, n pedig egy pozitív egész szám. Ekkor a^n olyan n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a.

Jelölés: $a^n={a cdot a cdot...cdot a}under{n db} (n in bbN^+, a in bbR)$
ha n=1 akkor a^1=a

Ez a definíció valójában inkább csak egy rövidítés, de mint látni fogjuk a fogalom kiterjesztésével valóban új fogalomhoz jutunk.

Az új jelölést használva fontos összefüggéseket figyelhetünk meg, melyeknek később a fogalom kiterjesztésében is nagy szerepe lesz:

A hatványozás azonosságai

$a^n cdot a^k=a^{n+k}$
$(a^n)^k=a^{n cdot k}$
$({a}{b})^n=a^n b^n$
$a^n/a^k=a^{n-k} ~ (a<>0)$

Pozitív egész kitevős ( a,b in bbR és n,k in bbN^+ ) hatványok esetén az 5. azonossághoz tartozik az ( n>k ) kikötés is. Az azonosságok bizonyítása a pozitív egész számok halmazán nem okoz nagy nehézséget:

Azonosságok bizonyítása

$a^n cdot a^k={(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n db}*{(a cdot a cdot ... cdot a)}under{k db}={(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n+k db}=a^{n+k}$
$(a^n)^k={(a^n cdot a^n cdot ... cdot a^n)}under{k db}=hat{{(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n db}{(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n db}cdots{(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n db}}over{k db}={a cdot a cdot ... cdot a}under{n cdot k db}=a^{n cdot k}$
$(a b)^n={(a b)(a b)cdots(a b)}under{n db}={(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n db}{(b cdot b cdot ... cdot b)}under{n db}=a^n b^n$
$(a/b)^n={((a/b)(a/b)cdots(a/b))}under{n db}={(a cdot a cdot ... cdot a)}over{n db}/{(b cdot b cdot ... cdot b)}under{n db}=a^n/b^n$
${a^n}/{a^k}={(a cdot a cdot ... cdot a)}over{n db}/{{(a cdot a cdot ... cdot a)}under{k db}}= {{(a cdot a cdot ... cdot a)}over{n-k db}{(a cdot a cdot ... cdot a)}over{k db}}/{{(a cdot a cdot ... cdot a)}under{k db}} ={(a cdot a cdot ... cdot a)}under{n-k db}=a^{n-k}$

Megjegyzés:
Az azonosságok bizonyításánál felhasználtuk, hogy a szorzás művelet a valós számtesten asszociativ és kommutativ.

Hatványfogalom kiterjesztése

A hatványfogalom kiterjesztése egész, majd racionális kitevőre a permanencia elvére épül, azaz a kiterjesztéskor elsődleges szempontunk az, hogy a pozitív egész kitevőre megismert azonosságok továbbra is igazak maradjanak.

A kiterjesztés során látni fogjuk, hogy míg a kitevő értelmezési tartományát bővítjük kénytelenek leszünk az alap értelmezési tartományát szűkíteni.

Egész kitevős hatványok

Először az a valós szám nulladik hatványának értelmezésével foglalkozunk. Induljunk ki az 5. azonosságból és próbáljuk megfogalmazni, milyen feltételnek kell teljesülnie a szám nulladik hatványára!

$a^0=a^{n-n}={a^n}/{a^n}=1$

Tehát ha van értelmes definíció, akkor az csak az alábbi lehet:

Definíció: Ha a<>0 valós szám, akkor a^0=1

Az a<>0 kikötés szükséges, mert a fenti okoskodás nem működik a nulla hatványaira: ${0^0=0^{2-2}={0^2}/{0^2}$ .

A fenti definíciót akkor fogadhatjuk el, ha nem sérti a permanencia elvét, azaz a további azonosságok is mind érvényben maradnak. Ennek bizonyítását itt nem részletezzük (majd esetleg valaki… :)), csak megállapítjuk: a nulladik hatvány fenti definíciója nem sérti a permanencia elvét.

Negatív egész kitevős hatványok

A negatív kitevő értelmezéséhez induljunk ki újból az 5. azonosságból. Tekintsük pl. az $a^{-n} ~ (n in bbN^+)$ hatványt, és próbáljuk megfogalmazni, milyen feltételnek kell eleget tegyen az azonosság értelmében:

$a^{-n}=a^{0-n}={a^0}/{a^n}=1/{a^n}$

Tehát ha van értelmes definíció, akkor az csak az alábbi lehet:

Definíció: Legyen a<>0 valós és n természetes szám. Ekkor $a^{-n}=1/{a^n}$

Kimutatható, hogy a negatív kitevőjű hatvány ilyen értelmezésekor a hatványozás korábban ismert azonosságai mind érvényben maradnak.

Racionális kitevős hatványok

A hatványozás további általánosításaként értelmezni akarjuk a tört kitevőjű hatványokat is. Itt a 4. azonosságból kiindulva próblunk közelebb kerülni a lehetséges értelmezéshez:

$a=a^1=a^{{1/n} cdot n}=(a^{1/n})^n$

A fenti okfejtés azt sugallja, hogy az a szám 1/n -edik hatványán azt a számot kell értsük, aminek n. hatványa éppen a . Ez a szám definíció szerint nem más mint </m>root{n}{a}</m>

Definíció: Legyen a > 0, továbbá legyenek p és q pozitív egészek. Ekkor $a^{p/q}$ olyan pozitív valós szám, amelynek q-adik hatványa a^p -nel egyenlő.

$a^{p/q}=root{q}{a^p}$

Igazolható, hogy a hatványozás azonosságai továbbra is igazak maradnak:

${a^{p/q}}*{a^{r/s}}={root{q}{a^p}}*{root{s}{a^r}}={root{qs}{a^{p*s}}}*{root{qs}{a^{r*q}}}=root{qs}{a^{{p*s}+{q*r}}}=a^{{{p*s}+{q*r}}/{qs}}=a^{{{ps}/{qs}}+{{qr}/{qs}}}=a^{{p/q}+{r/s}}$
${(a^{p/q})}^{r/s}=root{s}{root{q}{(a^p)}^r}=root{s}{root{q}{a^{pr}}}=root{sq}{a^{pr}}=a^{{pr}/{qs}}=a^{{p/q}*{r/s}}$

stb.

Fontos megjegyezni, hogy negatív számok körében nem értelmezzük a tört kitevőjű hatványt. Ha ugyanis annak lenne értelme, akkor értéke nyilván nem függhet a kitevő alakjától. Így például:

$(-2)^{1/2}=sqrt{-2} ~~~left$ nem értelmezhető
$(-2)^{1/2}=(-2)^{2/4}=root{4}{(-2)^2}=root{4}{2} ~~~left$ értelmezhető

(k/n in Q)~~(a in bbR^+)

Valós kitevős hatványok

Végül a hatványozás teljes általánosításaként vizsgáljuk meg, hogyan értelmezhető egy pozitív valós szám irracionális hatványa.
Pl.: $2^sqrt{2}$ . A hatványozás azonosságainak figyelembevételével most nem tudjuk megsejteni, mi is legyen a definíció.Használjuk ki azt a tulajdonságot, hogy ha a>0 ~és~ a <>1 ~akkor ~a^n kifejezés értéke n növekedtével szig.mon. nő vagy csökken attól függően, hogy a>1 ~vagy~ a<1 .

$sqrt{2} approx 1,4142 ~right 2^{1,4}<2^{sqrt{2}}<2^{1,5}~;~ 2^{1,41}<2^{sqrt{2}}<2^{1,42}$ …

Az eljárást folytatva egymásba skatulyázott intervallumokba zárjuk $2^{sqrt{2}}$ értékét.Ezeknek pontosan egy közös pontja van, ezzel a valós számmal definiáljuk a $2^{sqrt{2}}$ hatványt.Bebizonyítható, hogy az ilyen módon definiált irracionális kitevőjű hatványkora is érvényesek a hatványozás korábban ismertetett azonosságai

(a in bbR ; a^x right x in bbR)

Alkalmazások

Matematikai alkalmazások * nevezetes azonosságok * mértani sorozatok ( a_n=a_1*q^n-1 ; Z+, ahol an a sorozat n-edik tagja, a1 a sorozat első tagja, és q a kvóciens, vagyis a sorozat hányadosa) * számok normálalakja ( ; ) * kombinatorika – ismétléses variációk

Egyéb * kamatszámítás (mint a mértani sorozatoknál, de itt: a1 az induló tőke, an a számlánkon levő pénz az n-edik év elején és , ahol p% a kamatláb) * radioaktív bomlás ( , ahol N a még el nem bomlott atommagok darabszáma, N0 a kezdeti atommagok darabszáma, T az anyagra jellemző felezési idő, és t az eltelt idő) * mértékegységek közötti átváltás