Definíció: Adott két halmaz, A és B. Ha az A halmaz minden elemének megfeleltetjük B halmaz valamely elemét, akkor ezt a leképezést függvénynek nevezzük.

Fontos hangsúlyozni, hogy A halmaz minden eleméhez pontosan egy elemet rendelünk.

A függvényeket definiálhatjuk speciális relációként is. Ekkor reláció függvény, ha .

Jelölések:

A függvényeket általában az ABC kisbetűivel jelöljük: f, g, h,…

Az f függvény által az x értékhez rendelt értéket f(x)-el jelöljük. Úgy is fogalmazhatunk, hogy f(x) az f függvény x helyhez tartozó függvényértéke.

A halmaz f által generált képe:

A fenti leképezésben az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük; más helyen néha alaphalmaznak, illetve indulási halmaznak is nevezik.

Jelölés: D_f, esetleg ÉT.

Ha az értelmezési tartományt nem adjuk meg, akkor azt a legbővebb számhalmazt tekintjük értelmezési tartománynak, melyen a hozzárendelésnek értelme van.

A fenti leképezésben a B halmazt a képhalmaznak, vagy érkezési halmaznak nevezzük.

A fenti leképezésben B halmaz azon elemei, melyek szerepelnek a hozzárendelésben az értékkészletet alkotják.

Az értékkészlet tehát a képhalmaz részhalmaza. Ha a két halmaz egyenlő, akkor a függvényt szürjekciónak nevezzük.

Jelölés: R_f, esetleg ÉK.

Egy függvényt adottnak tekintünk ha

• ismerjük az értelmezési tartományát és
• megadjuk a hozzárendelést

Feladatok kiírásakor gyakran előfordul, hogy az értelmezési tartomány jelölik ki. Ilyenkor megállapodás szerint azt a legbővebb halmazt tekintjük értelmezési tartománynak, melyen a megadott hozzárendelés értelmezhető.

Speciális függvények esetén - mint például a sorozatok - szintén előfordul, hogy nem adjuk meg az értelmezési tartományt.

A hozzárendelés megadására az alábbi eszközöket használhatjuk:

• képlet
• táblázat
• grafikon
• diagramm

A függvényeket leggyakrabban táblázattal, grafikonnal vagy analitikusan (képlettel) szokás megadni. Az analitikus módon megadott függvények közül az y=f(x) alakúakat explicit, az F(x;y) implicit, az y=y(t), x=x(t) egyenletrenszerrel adottakat pedig paraméteres előállítású függvényeknek nevezzük.

A függvények speciális csoportjait alkotják a

• szürjekciók - ahol a képhalmaz megegyezik az értelmezési tartománnyal
• injekciók - melyek minden értelmezési tartománybeli elemhez különböző értékeket rendelnek
• bijekciók - melyek az előbb említett mindkét tulajdonsággal bírnak, ami anyit jelent, hogy az értelmezési tartomány és a képhalmaz elemei bárba állíthatók a segítségükkel. Szokás a bijekciókat kölcsönösen egyértelmű leképezéseknek is nevezni.

A lineáris függvények nevüket onnan kapták, hogy grafikonjuk egyenes. Általános hozzárendelési szabályuk: f:H−>R, f(x)=mx+b (H⊂R, m és b valós számok) A lineáris függvények további két csoportba sorolhatóak aszerint, hogy m értéke nulla, vagy nem nulla.

Az f(x)=c (c adott szám) alakú függvényeket konstans (állandó) függvényeknek nevezzük. A konstans függvények képe x tengellyel párhuzamos egyenes, mely az y tengelyt c-nél metszi.

Az f(x)=mx+b (m≠0 és b adott számok) alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük.

Képük ferde (egyik tengellyel sem párhuzamos) egyenes, mely az y tengelyt b-nél metszi. Az m értéket meredekségnek nevezzük, mert az egyenes pozitív x tengellyel bezárt szögének (irányszög) tangense (matematika:koordinátageometria:egyenes#iránytangens]]). Az ábrázoláskor ez azt jelenti, hogy a grafikon egy pontjából elindulva jobbra 1 egységet, függőlegesen felfele m egységet lépve ismét a grafikon egy pontjához jutunk.

Alapfüggvény: x→x

Általában minden f:H−>R, f(x)=mx (H⊂R) függvényről azt is mondhatjuk, hogy egyenes arányosság, amelynek arányossági tényezője m.

Példák: egyenes vonalú egyenletes mozgás út-idő függvénye; egyenletesen gyorsuló mozgás sebesség-gyorsulás függvénye

A másodfokú függvény hozzárendelési szabálya általános esetben: f:R→R, f(x)=ax²+bx+c, ahol a ∈ R/{0}; b,c ∈ R.

A másodfokú függvény képe parabola, amelynek fókusza F pont, e-t vezéregyenesnek, az y tengelyt pedig a parabola tengelények nevezzük, míg az origó a csúcspontja. (Tengelye párhuzamos az y tengellyel.)

Hozzárendelési szabályai:

f:R→R, f(x)=a(x-u)²+v, ahol a ∈ R/{0}; u,v ∈ R.

• A normális parabolát ekkor a-szorosára nyújtjuk, és a v(u;v) vektorral eltoljuk úgy, hogy a parabola csúcspontja c(u;v) pontba kerül.

Egy másodfokú függvénynek 0,1 vagy 2 zérushelye létezhet, mivel a parabola elhelyezkedésétől függően legfeljebb két helyen metszi az x tengelyt. Diszkriminánstól függően és a kifejezés főeggyuthatójának előjelét figyelembe véve, 6 féle elhelyezkedést ismerünk:

Íly módon ábrázolva egy másodfokú kifejezést, a zérushelyeket figyelve megkaphatjuk az ábrázolt összefüggés valós gyökeit.

szoegfueggvenyek

A függvénytulajdonságoknak sokszor szemléletes, a grafikonról jól leolvasható tartalma is van. Ennek ellenére a tulajdonságok definíciói nem a grafikonokról szólnak, hiszen a függvény ábrázlás nélkül is függvény, és a hozzá kapcsolódó tulajdonságok is a leképezés tulajdonságai, nem a grafikon jellemzői. Itt említhetjük meg, hogy vannak függvények, melyeknek nincs megrajzolható grafikonjuk (pl.: Dirichlet-függvények).

• szimmetria tulajdonságok (paritas és periodicitas)

• monotonitás

• korlátosság

• szélsőérték

• konvexitás

• folytonosság (pontban, környezetben)

• határérték

Weierstrass-tétele: Ha f függvény folytonos I = [a,b] intervallumon, akkor létezik I-n maximuma és minimuma is.

Bolzano-tétele: Ha f függvény folytonos [a,b] intervallumon, akkor a minimum és a maximum között minden értéket felvesz.

A teljes függvénydiszkusszió felhasználja a határérték-számítás és a differenciálszámítás eszközeit.

1. értelmezési tartomány, tengelymetszetek
2. szimmetria tulajdonságok
3. folytonosság, határértékek a szakadási helyeken és az ért.tart. szélein
4. első derivált: monotonitás, szélsőértékek
5. második derivált: konvexitás, inflexiós helyek
6. grafikon felrajzolása (aszimptoták berajzolása)
7. értékkészlet

Példa: a függvények a numerikus sorozatok.

Példa: geometriai_transzformaciok

Példa: a .

Jelölések: , ,