Határérték

Sorozatok határértéke

Definíció: Az (a_n) sorozat határértéke az A valós szám, ha minden epsilon in bbR^+ számhoz található olyan N küszöbindex, hogy bármely n in bbN, n>=N esetén $delim{|}{a_n - A}{|} < epsilon$ .
Ha az (a_n) sorozatnak van véges (valós) határértéke, akkor konvergensnek nevezzük, minden más esetben a sorozatot divergensnek nevezzük.

Definíció: Az (a_n) sorozat határértéke + infty (illetve - infty ), ha bármely K valós számhoz található olyan N küszöbindex, hogy bármely n in bbN, n>=N esetén a_n>K (illetve a_n<K).

Tétel: Konvergens sorozat mindig korlátos is.
Bizonyítás: Válasszunk egy konkrét epsilon értéket, legyen például epsilon=1 . Az ehhez tatozó küszöbindex feletti elemek mind az delim{]}{A-epsilon;A+epsilon}{[} intervallumba esnek. A küszöbindex előtti tagok halmaza véges halmaz, így van legnagyobb és legkisebb eleme: M és m. Így tehát a sorozat felső korlátja a K=max(M;A+epsilon) szám, alsó korlátja pedig a k=min(m;A-epsilon) .

Bocs, ha hülyeséget írok, de a határéték(végesben véges) definíciójában, nem inkább annak kéne lennie, hogy epsilon in bbR^+ ?
— Szilágyi Kristóf 2007/05/25 21:40 De. Máskor nyugodtan javítsd ki - biztos van még sok hasonló elgépelés! [bb]

nevezetes határértékek

${lim} under {n right infty} q^n = delim{lbrace}{matrix{4}{2}{{q>1}{+infty}{|q|<1}{0}{q=1}{1}{q<=-1}{oszc.div.}}}{}$

{lim} under {n right infty} root{n}{q} = 1, q>0

{lim} under {n right infty} root{n}{n} = 1

${lim} under {n right infty} (1+k/n)^n = e^k$

ökölszabályok: $log{n}<<n<<A^n<<n!<<n^n$

Függvény határérték

Pontbeli határérték

Definíció: Az f függvénynek az x_0 pontban van véges határértéke, ha f értelmezve van az x_0 egy pontozott környezetében, és van olyan A in bbR szám, hogy bármely epsilon > 0 -hoz létezik olyan delta > 0 , hogy ha $0 < delim{|}{x-x_0}{|} < delta$ , akkor delim{|}{f(x)-A}{|}<epsilon . Ekkor az A számot az f függvény x₀ pontban vett határértékének nevezzük.
Jelölés: $lim{x right x_0}{f(x)} = A$

Definíció: Az f függvény határértéke az x_0 pontban + infty (illetve - infty ), ha f értelmezve van az x_0 egy pontozott környezetében, és bármely K valós számhoz létezik olyan delta > 0 , hogy ha $0 < delim{|}{x-x_0}{|} < delta$ , akkor f(x)>K (illetve f(x)<K).
Jelölés: $lim{x right x_0}{f(x)} = +infty$

Tartalomjegyzék

Határérték

Sorozatok határértéke

nevezetes határértékek

Függvény határérték

Pontbeli határérték

Végtelenben vett határérték