Különbségek
A kiválasztott változat és az aktuális verzió közötti különbségek a következők.
|
|
oktatas:matematika:analizis:folytonossag [2019/06/04 13:01] barnkopf ↷ Page moved from matematika:analizis:folytonossag to oktatas:matematika:analizis:folytonossag |
oktatas:matematika:analizis:folytonossag [2019/06/06 08:51] (aktuális) 144.76.96.236 ↷ Links adapted because of a move operation |
Ha //f// folytonos az //[a;b]// zárt intervallumon és //f(a)f(b)<0//, akkor //f//-nek van zérushelye az //[a;b]// intervallumon\\ | Ha //f// folytonos az //[a;b]// zárt intervallumon és //f(a)f(b)<0//, akkor //f//-nek van zérushelye az //[a;b]// intervallumon\\ |
**Bizonyítás:** | **Bizonyítás:** |
Nézzük az //f(a)<0//, //f(b)>0// esetet. Legyen ekkor <m>H := delim{lbrace}{x in delim{[}{a;b}{]} : f(x)<0}{rbrace}</m>. //H// felülről korlástos, hiszen //b// felső korlátja, így van //x<sub>0</sub>// [[matematika:halmazok:halmazok#legkisebb felső korlát]]ja (<m>x_0 in sup H in delim{]}{a;b}{[}</m>).\\ | Nézzük az //f(a)<0//, //f(b)>0// esetet. Legyen ekkor <m>H := delim{lbrace}{x in delim{[}{a;b}{]} : f(x)<0}{rbrace}</m>. //H// felülről korlástos, hiszen //b// felső korlátja, így van //x<sub>0</sub>// [[oktatas:matematika:halmazok:halmazok#legkisebb felső korlát]]ja (<m>x_0 in sup H in delim{]}{a;b}{[}</m>).\\ |
Belátjuk, hogy //f(x<sub>0</sub>)=0//.\\ | Belátjuk, hogy //f(x<sub>0</sub>)=0//.\\ |
Tegyük fel ugyanis, hogy //f(x<sub>0</sub>)>0//. Ekkor kell legyen //x<sub>0</sub>//-nak olyan környezete, melynek //x// pontjaiban //f(x)>0//, így //x<sub>0</sub>// nem lehetne //legkisebb// felső korlát.\\ | Tegyük fel ugyanis, hogy //f(x<sub>0</sub>)>0//. Ekkor kell legyen //x<sub>0</sub>//-nak olyan környezete, melynek //x// pontjaiban //f(x)>0//, így //x<sub>0</sub>// nem lehetne //legkisebb// felső korlát.\\ |